Lösung der Wellengleichung (nach d'Alembert)

Superpositionsprinzip:
Falls $u_1(x,t)$ und $u_2(x,t)$ Lösungen der Wellengleichung sind, dann ist auch $u(x,t)=u_1(x,t)+u_2(x,t)$ eine Lösung. (Beweis durch einsetzen von $u$ in ())

Betrachte $x \in \mathbb{R}$ d.h. die ganze reelle Achse. Zunächst berechnen wir aus $\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$, dass die Gleichung $x^2 = c^2t^2$ eine wichtige Rolle spielt. Wir verwenden wegen $x^2-c^2t^2=(x-ct)(x+ct)=0$ die Substitution:

$$\begin{eqnarray}\xi =x-ct \\ \eta =x+ct \end{eqnarray}$$

Dann wird aus () mit $x=\frac{1}{2}(\xi + \eta)$ und $t=\frac{1}{2c}$

$$\begin{eqnarray}(\eta - \xi) \frac{\partial}{\partial u}u(\frac{1}{2}(\xi +\eta... ...partial x^2 }-\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2 } ) \end{eqnarray}$$

Also folgt aus () :

$$\frac{\partial^2 u(\xi , \eta)}{\partial \xi \partial \eta} = 0$$ (3.15)

Offenbar ist $\frac{\partial u }{\partial \eta }$ unabhängig von $\xi$. Also gilt

$$\frac{\partial u(\xi , \eta ) }{\partial \eta } = h_2'(\eta)$$ (3.16)

mit einer beliebigen Funktion $h_2'(\eta )$. Durch Integration ( $h_2(\eta )$ist Stammfunktion von $h_2'(\eta )$) folgt

$$u(\xi, \eta) = h_2(\eta )+h_1(\xi ).$$ (3.17)

Wiedereinsetzen von $x$ und $t$ gibt also

$$u(x,t) = h_1(x- ct) + h_2(x+ct)$$ (3.18)

Um die Anfangsbedingungen zu erfüllen, setzen wir () in (), () ein und bekommen

mit einer Konstanten $C$. Aus Addition und Subtraktion von () und () gilt

Also folgt

$$\begin{eqnarray}u(x,t)=h_1(x-ct)+h_1(x-ct)+h_2(x+ct)\nonumber\\ =\frac{1}{2}(f(... ... -C \nonumber\\ +f(x+ct) + \frac{1}{c}\int_0^{x-ct} g(y) dy +C \end{eqnarray}$$

und schließlich

$$u(x,t)=\frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct)+\frac{1}{c}\int_{x-ct}^{x+ct}g(y)dy)$$ (3.21)

die d'Alembertsche Formel.

Im Spezialfall $g(x)=0$ folgt dann

$$u(x,t)=\frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))$$ (3.22)

Abbildung: Impulsfortpflanzung entlang einer Saite

d.h die Auslenkung zerfällt in zwei identische Pulse, die sich in entgegengesetzte Richtung ausbreiten.

Wir betrachten nun den Einfluß der Randbedingungen, d.h. $$\begin{eqnarray*}u(0,t)=0\\ u(L,t)=0 \end{eqnarray*}$$ Natürlich sind dann die Anfangsbedingungen auch nur für $0\leq x \leq L$ von Interesse. Gleichung () zeigt, dass dann $h_1(x)$ für $- \infty < x \leq L$ definiert sein muss und $h_c(x)$ für $0 \leq x \leq \infty$. Man erhält dann

oder mit $x=ct$ bzw.

Setzt man $h_2(x)$ aus der ersten Gleichung in die zweite ein so folgt

$$h_1(-x)-h_1(-x-2L)=0$$ (3.25)

Also muss $h_1(x)$ periodisch sein mit Periode 2 L! Also folgt, dass sich jede Lösung des Randwertproblems durch eine beliebige periodische Funktion $h_1(x)$ auf dem Intervall $- \infty < x \leq L$ schreiben läßt als:

$$u(x,t)=h_1(x-ct)-h_1(-x-ct)$$ (3.26)

setzt man $t=0$ so folgt

$$\begin{eqnarray}u(x,0)= h_1(x)-h_1(-x)=f(x)\\ \frac{\partial u}{\partial t}_{t=0} = -c(h_1'(x)-h_1'(-x)) \end{eqnarray}$$

Nun ist $h_1(x)-h_1(-x)$ eine ungerade Funktion ( $h_1(x)-h_1(-x)=-[h_1(-x)-h_1(x)]$), d.h wenn man $f(x)=u(x,0)$ außerhalb des Intervalls $[0,L]$auf die ganze reelle Achse als ungerade, periodische Funktion fortsetzt, dann läßt sich die d'Alembertische Formel () (die für ganz $\mathbb{R}$ galt) auch hier anwenden. Das gleiche gilt für $g(x)= \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right\vert _{t=0}$.

Die allgemeine Lösung des Rand- und Anfangswertproblems ist also gegeben durch () wenn man die Anfangsbedingungen $f(x)$ und $g(x)$ als ungerade Funktionen periodisch auf ganz $\mathbb{R}$ fortsetzt. Eine ungerade periodische Funktion mit Periode 2 L ist auch ungerade bezüglich der Punkte $x=kl, k=0,\pm 1,\pm 2 \dots$

Das bedeutet z.B. für die gezupfte Saite eine Situation wie sie in Abbildung dargestellt ist.

Abbildung:

Hier können Sie mit der Überlagerung selbst gezeichneter Wellenzüge experimentieren.

Diese Situation legt eine direkte Modellierung der schwingenden Saite durch sich überlagernde Wellenzuüge nahe.